三种,接下来把它们组合在一起就行了。
我们定义一个叫“组合”的函数f,它的功能是把n个函数组合在一起:
f:Nn—N
具体的,如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数x1,...,xm,那么组合n个g函数的操作可以被表示为:
f·[g1,...,gn]:Nm—N
展开为:
f·[g1,...,gn]x1,...,xm=fg1x1,...,xm,...,gnx1,...,xm
举个栗子:
我们构造一个函数one,onex=1,即:不论给它什么输入,它都输出为1,那么:
onex=succ0=succzerox
即:succ·[zero]=one
验证一下:
succ·[zero]x=succzerox=succ0=1
succ和zero两个基本函数组成了我们要的one,完美。
如果栗子再复杂一点,我们想要一个加法器add,addx,y=x+y,怎么用那三种基本函数组合?
也很简单,从具体输入入手:
add3,2=succadd3,1=succsuccadd3,0=succsucc3
似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。
当然,这里面有一个毛病,在于我们在没有定义好add的前提下,先入为主地认为add3,0=3.
所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add,只能退而求其次地得到以下关系:
addx,y+1=succaddx,y,这个式子是十分严谨的。
更具体地,要想算出addx,y+1,就要知道addx,0=x,我们称addx,0=x为基准条件;addx,y+1=succaddx,y为递归条件。
看起来就差临门一脚了,只要我们能用三种基本函数构造出addx,0=x,就能得到addx,y+1,也就能构造出我们想要的加法器。
也很显然,addx,0=x=proj11
于是,我们的加法器有了。
这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”,它的定义是这样的:
基准函数f:Nn—N
递归函