如何攻克压轴题？

高中数学提分手册：明晰高考套路，学习事半功倍

如果你的成绩目前已经稳定在了班级的中上游，数学考试成绩每次都不低于120分。

那么这时，制约你成绩提升的最主要因素一定是试卷上的压轴题。

接下来我们就一起建立两个关键认知，帮助你理解压轴题的解构原则。

压轴题不是难题而是复杂题

许多老师和学生都认为：压轴题之所以「难」，是由于题目涉及了难以想象的构造技巧，或使用了生僻而不常用的知识点。

他们把压轴题贴上了「偏题怪题」的标签。

更有一些老师，试图建议学生使用超越考纲的高等数学工具对其进行解答。

类似的想法，首先严重违背了高中数学教学和学习的科学性，还给你造成了一种误导：就是它让你认为这些题目和常规的考点就是不一样的，压轴题涉及的考点是在另外一个次元中的，属于更高一级的知识。

其实这就是一种非常刻板的印象。

例题分析：解剖一只麻雀

我们来拿一道非常普通的压轴题来向你解释一下你的这个认知到底有什么问题：

…

我们来分析一下这道题目，你就会发现这道题的难点跟你想象得还不太一样，大家可以看我在笔记纸的左侧划了四个点，一共是四步。

我们回道这道题目：先看第一步，我的做法是对这个函数求导。

那你为什么会想到「求导」这种操作呢？

这就牵涉到了这个《导函数》部分的一个知识点：导数与函数之间有一个对应关系——「一个函数的导数的正负就决定要整个函数的增减」。

换句话说，导函数的符号是能确定原函数的单调性的——这就跟题目中说到的「单调递增」这个词对应上了。

这就是我一直强调的「知识是重要的，但是知识点的使用方法、知识的考法是更重要的」。

比如：一提到外接圆你就应该想起来「正弦定理」。

对于这道题目，提干条件说这个函数在整个实数范围内单调递增，意味着什么？

不就是说导函数恒正吗？

所以说，你这个题目中一看到单调，他的第一步就要求导。

当然，在求导的时候，你会发现它的运算过程也并不是非常简单的：

这一步的求导不仅涉及到导数的四则混合运算，还有一个链式法则——也就是中间的一项-1/3·sin2x，这是一个典型的复合函数。

等于说这一步，这道题目就考了3个知识点：

1、函数与导函数的对应关系；

2、导数的四则混合运算；

3、复合函数求导的链式法则。

这就牵涉到老师在讲解「不等式」的时候给大家提到的一个关键用法了：不等式的一个重要的证明方法就是将一个不等式的问题转化为函数求最值的问题。

比如这里：导函数大于等于0。

其实就是说这个东西的最小值要比这个数还要大。

换言之，这道题目在这儿转向成为了「三角函数求最值」的问题。

你把这个三角函数的最值给我算出来。

因为这个式子的系数含有参量a嘛，所以你算出来的那个最值一定也是和a相关的。

那么这个数要大于0，就相当于解一个跟a相关的不等式，这个a的取值范围就定出来的，这个题目要说也就是这么个思路。

但是你不要以为这道题到这儿就结束了，它的下一步计算还蕴含了更多细节，我下面继续把这其中的细节给你掰开揉碎讲清楚。

更多细节：进一步的分析

如果你对高中数学三角函数求最值的基本逻辑清楚，你就会知道这种情况下你的策略应该是「优先把x的系数给化统一」。

他的次数可以不统一，但是我把它们整体代换成一个二次函数，也就是说我利用y=cox。

我把cosx当做整体代换掉，把它给降成一个二次函数，在二次函数上边来解决它的次数问题。

也就是说：到这儿，我们的题目又发生了一次转向。

这是我们的第二次转向。

你最开始本来以为这是要求参量的取值范围的问题，后来你求了导后发现这是一个三角函数求最值的问题；

但是在三角函数化简的过程中你发现化不成标准式，然后你就得把它变成一个二次函数；

现在、这道题被归成了「含参量的二次函数在定区间上求最值」的问题。

为什么是定区间呢？

因为你这个y=cosx它的取值范围是[-1，1]；

也就是说，你这个y的取值是[-1，1]，这是一个定区间；

而你要在这个区间上求的一个最小值，这才是你问题的关键。

所以说你会发现这道题目他是在绕来绕去绕来绕去把你学会的基本上所有的事情都给你整合到一块去了啊。

那么最后、这个关于含参量的二次函数在定义区间上求最值究竟应该怎么求？

这就不是我今天要讲的重点了。

实际上你们初中的老师就应该跟你们讲过它的解法，核心是你要判断对称轴与区间的相对位置关系就行，对称轴究竟是在区间中点的左侧还是右侧，这你需要做一个分类讨论，具体的细节我就不在这里展开讲了。

这道题目考了哪些知识点？

我花这么多时间来跟大家讲这道题目的每一个步骤，是想要跟大家说：你会发现以后你在高考考场上碰到的压轴题都是这种情况——这种题目非常难，非常难得分，但是这些难题的「难」绝对不是在于它用了哪一个特别拐弯抹角的知识点。

其实就像我之前刚刚讲的，如果说你现在是一个高三的学生，整个高中知识都学完了，你会发现这道题目中用到的知识点哪一个你没有学到？

导函数的四则混合运算，链式法则，函数与导函数的对应关系，不等式与函数最值的关系，三角函数求最值的化简原则，二次函数在定区间上求最值的基本原理——每一个知识点都是非常自然的内容，如果单独拿出来考察，任何一个普通的学生都能拿到分数。

…

这是我做了一张整理的图片，你会发现这道题目，我们从头到尾再把它缕一遍的话它用到了什么样的东西呢？

第1步你要导数的运算：导数的运算里边我讲过有初等函数简单初等函数的导数、导数的四则运算、复合导数的链式法则；

第2步你还要知道导数的意义：最主要的是说导数与导函数的关系；

第3步你要知道三角函数求最值怎么求？三角函数方程的简化应该怎么简化？简化的过程当中标准方程的简化有什么原则？就是次数对齐系数对齐，如果说次数和系数不能同时对其的时候有一个特例要转换，把它变成了一个二次函数求最值；

第4步是：二次函数在定区间上求最值有什么样的方法？以及二次函数求最值在含参量的情况下，分类讨论的基本原则是什么？